СОСТАВНАЯ БАЙЕСОВСКАЯ ОЦЕНКА 

Михайлов Виктор Сергеевич, ведущий инженер, Центральный научно-исследовательский институт химии и механики им. Д. И. Менделеева (115487, Россия, г. Москва, ул. Нагатинская, 16а), E-mail: Mvs1956@list.ru
Юрков Николай Кондратьевич, доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, заведующий кафедрой конструирования и производства радиоаппаратуры, Пензенский государственный университет (440026, Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: yurkov_NK@mail.ru 

519.248:62-192 

DOI

10.21685/2307-4205-2019-4-13 

Актуальность и цели. Целью статьи является определение правил для построения составной байесовской оценки. Моделируя различные ситуации окружающего мира, следует помнить о его постоянной изменчивости. Так, различные партии изделий имеют различные величины параметров априорного распределения, а в случае нарушения технологической дисциплины эти различия становятся еще сильнее. Однако заметить эти отличия не позволяет не только зафиксированный выбор вида априорного распределения, но и зафиксированный выбор величин параметров этого распределения, осуществленный на выборках различных партий изделий еще до выпуска контролируемой партии, т.е. этот выбор основан на опыте стабильного выпуска предыдущих партий. Таким образом, байесовская оценка контролируемой партии напрямую (сильно, чутко) зависит не только от вида априорного распределения, исхода испытаний и объема выборки N, но и от выбранных параметров априорного распределения. На практике наиболее часто встречающийся случай – это двухпараметрическое априорное распределение. Поэтому дальнейшее изложение, не нарушая общности рассуждений, проведем для двух параметрических случаев q(t,α,β). Проблему неадекватной реакции на изменения, произошедшие в технологическом процессе контролируемой партии изделий, удастся решить, если байесовскую оценку показателя надежности каждой контролируемой партии изделий искать в виде составной оценки, характеризующейся априори установленным распределением (или установленными распределениями), параметры которых заранее определены в зависимости от результатов будущих испытаний изделий этой партии, т.е. параметры α и β должны определять не весь технологический процесс, растянувшийся во времени, а только контролируемую партию изделий в зависимости от результата испытаний. Для описанного примера байесовскую оценку следует представлять в виде θQ(R,N,α_i,β_i) где i=0,1,2,…,N и при R=r, i=r ; а получаемую плотность составного априорного бета-распределения – в виде q(t,α_i,β_i), где α, β – набор параметров, который вычисляется по результатам испытаний контролируемой партии изделий в соответствии с формулированными правилами. Данная модель позволит порезультатам составной байесовской оценки определять реальные изменения, а не стабильность ситуации. Ясно, что подбор параметров α, β зависит от конкретного плана испытаний и вероятности возникновения исхода испытаний P(r,N,p), которую необходимо выбирать максимальной P_max=P(r,N,p_max) для данного плана испытаний и исхода с целью получения оценки pˆ=p_max параметра p, что одновременно определяет априорную оценку достигнутого уровня надежности контролируемой партии pˆ_α, т.е. pˆ=pˆ_α=α_r/(α_r+β_r). Заметим, что априори известная плотность распределения должна получаться не по результатам испытаний различных партий изделий, а по известным зависимостям вероятности возникновения исходов P(r,N, p) для конкретного плана испытаний, что нивелирует ошибки, зависящие от свойств используемой статистической оценки искомых параметров α, β в классическом случае. Заметим еще раз, что параметры α_r, β_r не являются в чистом виде априорными, а являются выбранными вариантами из заранее определенного набора параметров в зависимости от результатов испытаний контрольной партии изделий. Определенная таким образом пара параметров α_r, β_r из уже определенного набора вариантов, определенных по правилу максимальной вероятности возникновения событий (отказов) конкретного плана испытаний, характеризует надежность контролируемой партии изделий. Априорной информацией можно считать само распределение (например бета-распределение параметра p – рандомизированного параметра биномиального распределения). Составная байесовская оценка не зависит от вида (типа) испытуемых изделий, а зависит только от известной (доказанной) зависимости вероятности возникновения исхода испытаний, которая для конкретного плана испытаний, в силу доказанности выбора вероятности по правилам максимизации это вероятности, не изменится. Это и является основным преимуществом составной байесовской оценки – набор вариантов параметров α_r, β_r определяется (вычисляется) заранее для конкретного плана испытаний однократно и до проведения испытаний. Остается только по результатам испытаний на основании установленного набора вариантов параметров α_r, β_r определиться с конкретными величинами этих параметров для контролируемой партии изделий. 

Ключевые слова

бета-распределение; биномиальный закон распределения; план испытаний; точечная оценка; байесовская оценка 

 Скачать статью в формате PDF

1. Боровков, А. А. Математическая статистика / А. А. Боровков. – Новосибирск : Наука ; Изд-во Института математики, 1997. – 772 с.
2. Савчук, В. П. Байесовские методы статистического оценивания: надежность технических объектов / В. П. Савчук. – Москва : Наука, 1989. – 328 с.
3. Крупкина, Т. В. Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 2. Электронный курс лекций / Т. В. Крупкина. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2011. – 237 с.
4. Гнеденко, Б. В. Математические методы в теории надежности / Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляев, А. Д. Соловьев. – Москва : Наука, 1965. – 524 с.
5. Воинов, В. Г. Несмещенные оценки и их применение / В. Г. Воинов, М. С. Никулин. – Москва : Наука, 1989. – 440 с.
6. Михайлов, В. С. Исследование оценок на основе интегрального и байесовского подходов / В. С. Михайлов // Надежность и качество сложных систем. – 2018. – № 1 (21). – С. 28–39.
7. Шуленин, В. П. Математическая статистика. Ч. 2. Непараметрическая статистика / В. П. Шуленин. – Томск : Изд-во НТЛ, 2012. – 388 с.
8. Юрков, Н. К. Оценки показателей надежности для безотказных испытаний, проводимых по биномиальному плану / Н. К. Юрков, В. С. Михайлов // Надежность и качество сложных систем. – 2018. – № 4 (24). – С. 29–39.
9. Михайлов, В. С. Частный случай нахождения эффективных оценок / В. С. Михайлов, Н. К. Юрков // Надежность и качество сложных систем. – 2019. – № 2 (26). С. 103–113.
10. Михайлов, В. С. Нахождение эффективной оценки средней наработки на отказ / В. С. Михайлов // Надежность. – 2016. – № 4. – С. 40–42.
11. Михайлов, В. С. Исследование интегральных оценок потока отказов / В. С. Михайлов // Надежность и качество сложных систем. – 2018. – № 2 (22). – С. 3–10.