МЕТОД РЕДУКЦИИ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 

Березнев Валентин Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, старший научный сотрудник, Управление робототехническими устройствами, Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук (Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН) (119333, Россия, г. Москва, ул. Вавилова, 40), E-mail: va_bereznev@mail.ru
Дивеев Асхат Ибрагимович, доктор технических наук, директор роботоцентра Управления робототехническими устройствами, Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук (Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН) (119333, Россия, г. Москва, ул. Вавилова, 40); профессор департамента механики и мехатроники Инженерной академии Российского университета дружбы народов (115419, Россия, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3), E-mail: aidiveev@mail.ru 

519.71 

DOI

10.21685/2307-4205-2019-3-2 

Рассматривается задача оптимального управления с фазовыми ограничениями. Для решения задачи используется метод редукции пространства состояний. Метод состоит в том, чтобы уменьшить размерность пространства состояний объекта управления. Для этой цели часть компонент вектора состояний заменяется функциями времени из предположения об оптимальном поведении этих компонент и их физических свойствах. В результате получаем модель объекта управления в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений меньшего порядка и кусочно-функциональные уравнения с неизвестными параметрами для остальных компонент вектора состояний. Далее формулируем новую задачу оптимального управления в пространстве состояний меньшей размерности. При решении новой задачи оптимального управления некоторые компоненты вектора управления находим из формы функций исключенной части компонент вектора пространства состояний. В качестве примера рассмотрена задача оптимального управления мобильным роботом, движущимся на плоскости с круговыми фазовыми ограничениями. В результате применения метода редукции пространства состояний было сделано предположение, что угол поворота робота на оптимальной траектории принимает либо постоянные значения, либо является линейной функцией времени. Данное предположение позволило трансформировать задачу оптимального управления роботом к задаче оптимального движения точки на плоскости. Известные формы функции изменения угла поворота робота позволили определить класс управлений для одной из компонент вектора управления. В новой задаче оптимального управления отсутствует угол поворота робота, поэтому оптимальная траектория движения точки должна иметь наименьшую длину. Оптимальная траектория движения состоит из кусков прямых отрезков, касательных к круговым ограничениям, и круговых дуг, расположенных на границах ограничений. Для построения оптимальной траектории в новой задаче необходимо определить порядок ограничений, по границам которых должна пройти оптимальная траектория. Для решения этой подзадачи фазовые ограничения рассматриваются как вершины графа и при этом используется алгоритм Дейкстры поиска кратчайшего пути на графе. В результате используемых методов было получено значение функционала в два раза меньше, чем для решения, полученного эволюционным алгоритмом. 

Ключевые слова

задача оптимального управления, теория графов, задача о кратчайшем пути, управление мобильным роботом 

 Скачать статью в формате PDF

1. Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. – Москва : Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 322 с.
2. Федоренко, Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления / Р. П. Федоренко. – Москва : Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1978. – 488 с.
3. Грачев, Н. И. Библиотека программ для решения задач оптимального управления / Н. И. Грачев, Ю. Г. Евтушенко // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1979. – Т. 19, № 2. – С. 367–387.
4. Дьяконов, В. П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя / В. П. Дьяконов. – Москва : СОЛОН-Пресс, 2002. – 768 с.
5. Дьяконов, В. П. Mathematica 5/6/7. Полное руководство / В. П. Дьяконов. – Москва : ДМК Пресс, 2009. – 624 с.
6. Дьяконов, В. П. Maple 7 : учеб. курс / В. П. Дьяконов. – Санкт-Петербург : Питер, 2002. – 672 с.
7. Евтушенко, Ю. Г. Оптимизация и быстрое автоматическое дифференцирование / Ю. Г. Евтушенко. – Москва : ВЦ РАН, 2013. – 144 с.
8. Дивеев, А. И. Условия отсутствия свойств унимодальности функционала в задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями / А. И. Дивеев // Cloud of Science. – 2018. – Т. 5б, № 2. – С. 268–285.
9. Евтушенко, Ю. Г. Метод неравномерных покрытий / Ю. Г. Евтушенко, М. А. Посыпкин // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2013. – Т. 63, № 2. – С. 144–157.
10. Стронгин, Р. Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах (информационно-статистические алгоритмы) / Р. Г. Стронгин. – Москва : Наука, 1978. – 240 с.
11. Карпенко, А. П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. Алгоритмы, вдохновленные природой / А. П. Карпенко. – Москва : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. – 446 с.
12. Дивеев, А. И. Исследование практической сходимости эволюционных алгоритмов оптимального программного управления колесным роботом / А. И. Дивеев, С. В. Константинов // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2018. – № 4. – С. 80–106.
13. Дивеев, А. И. Эволюционные алгоритмы для решения задачи оптимального управления / А. И. Дивеев, С. В. Константинов // Вестник Российского университета дружбы народов. Инженерные исследования. – 2017. – Т. 18, № 2. – С. 254–265.
14. Dijkstra, E. W. A note on two problems in connection with graphs / E. W. Dijkstra // Numer. Math. Springer Science + Business media. – 1959. – Vol. 1, № 1. – P. 269–271.
15. Кормен, Т. Алгоритмы. Построение и анализ / Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн. – Москва : Вильямс, 2013. – 1328 с.